２.２ 圓的方程式

以一點  為中心，半徑為  的圓方程式為：（1）

取  為原點  時， ，則圓方程式為：（2）

所謂圓就是一動點  與一定點 （為圓心），恆保持定距離  的軌跡。一般二元二次方程式，若欠  項且  與  之係數相等時，該二元二次方程式就表現一圓。

如 可化成
（3）
即 ， 或

這個方程式表示以  為中心，半徑為  之圓，此處  故一圓方程式都可化成如（1）的標準形，或一般形 ，都含有三個未定參數，如果知該圓過三個定點，則可求得三個未知參數之值。

例 1. 求通過三點  之圓方程式，並求該圓圓心及半徑。

解：由已知三點代入  得

　　 ，     

　　以  聯立方程式解得　

　　該圓之中心為

　　圓半徑為

例 2.圓心為半徑為2之圓周上一點 ，試問當 在圓周上運動時， 之中點 的軌跡會描出怎樣的圖形？

解：設  點的座標為 ，則  點的座標為  因  在半徑為2，圓心為  之圓周上，所以 ，即 ，這方程式表示  點的軌跡，故  點的軌跡是以 為中心，半徑為 1 的圓。

2.2.1 圓與直線

一直線  與一圓  的關係有三，即直線與圓相交，相切或不相交。

（i）相交，則由直線解   代入圓方程式，得  的二次方程式，其判別式 。

（ii）相切，即如（i）所得  之二次方程式的判別式 。

（iii）不相交，則上述  之二次方程式的判別式 。

若在已知圓  上一點  欲求過點  之切線方程式 ，則因  通過 ，所以 ，又直線  與圓  相切於 ，即 ， 的斜率為： ，而 的斜率為 ，所以切線 的方程式是 ，即

故有

例如：圓  上一點  的切線方程式為  你也很容易寫出在  一點的切線方程式為 。

例 1：求由點  引圓  之切線方程式。

解：設切點為  則切線方程式為                                                 （1）
　　因該切線通過 ，所以　 （2）
　　又  在圓  上，所以　                                                     （3）
　　（2），（3）聯立解得　  及
　　將  之值代入（1）
　　得  及  二條切線方程式都是所要求的方程式。

例 2：求下列直線與圓 之交點（座標）。

　（1）                　（2）          　（3）

解：（1） 聯立解得二交點為  及 。

　　（2） 聯立解得只有一交點 ，即
　　　　　  與  相切於 。

　　（3） 聯立解得 　
　　　　　是虛數解，故直線  與  不相交。